1. 概述

堆(也叫优先队列),是一棵完全二叉树,它的特点是父节点的值大于(小于)两个子节点的值(分别称为大顶堆和小顶堆)。它常用于管理算法执行过程中的信息,应用场景包括堆排序,优先队列等。

2. 堆的基本操作

堆是一棵完全二叉树,高度为O(lg n),其基本操作至多与树的高度成正比。在介绍堆的基本操作之前,先介绍几个基本术语:

  • A:用于表示堆的数组,下标从1开始,一直到n
  • PARENT(t):节点t的父节点,即floor(t/2)
  • RIGHT(t):节点t的左孩子节点,即:2*t
  • LEFT(t):节点t的右孩子节点,即:2*t+1
  • HEAP_SIZE(A):堆A当前的元素数目

下面给出其主要的四个操作(以大顶堆为例):

2.1 Heapify(A,n,t)

该操作主要用于维持堆的基本性质。假定以RIGHT(t)和LEFT(t)为根的子树都已经是堆,然后调整以t为根的子树,使之成为堆。

void Heapify(int A[], int n, int t) {
  int left = LEFT(t);
  int right = RIGHT(t);
  int max = t;
  if(left <= n)     max = A[left] > A[max] ? left : max;
  if(right <= n)     max = A[right] > A[max] ? right : max;
  if(max != A[t]) {
    swap(A, max, t);
    Heapify(A, n, max);
  }
}

2.2  BuildHeap(A,n)

该操作主要是将数组A转化成一个大顶堆。思想是,先找到堆的最后一个非叶子节点(即为第n/2个节点),然后从该节点开始,从后往前逐个调整每个子树,使之称为堆,最终整个数组便是一个堆。

void BuildHeap(int A[], int n) {
  int i;
  for(i = n/2; i<=n; i++)
    Heapify(A, n, i);
}

2.3 GetMaximum(A,n)

该操作主要是获取堆中最大的元素,同时保持堆的基本性质。堆的最大元素即为第一个元素,将其保存下来,同时将最后一个元素放到A[1]位置,之后从上往下调整A,使之成为一个堆。

void GetMaximum(int A[], int n) {
  int max = A[1];
  A[1] = A[n];
  n--;
  Heapify(A, n, 1);
  return max;
}

2.4  Insert(A, n, t)

向堆中添加一个元素t,同时保持堆的性质。算法思想是,将t放到A的最后,然后从该元素开始,自下向上调整,直至A成为一个大顶堆。

void Insert(int A[], int n, int t) {
  n++;
  A[n] = t;
  int p = n;
  while(p >1 && A[PARENT(p)] < t)  {
    A[p] = A[PARENT(p)];
    p = PARENT(p);
  }
  A[p] = t;
  return max;
}

3.  堆的应用

3.1  堆排序

堆的最常见应用是堆排序,时间复杂度为O(N lg N)。如果是从小到大排序,用大顶堆;从大到小排序,用小顶堆。

3.2  在O(n lg k)时间内,将k个排序表合并成一个排序表,n为所有有序表中元素个数。

【解析】取前100 万个整数,构造成了一棵数组方式存储的具有小顶堆,然后接着依次取下一个整数,如果它大于最小元素亦即堆顶元素,则将其赋予堆顶元素,然后用Heapify调整整个堆,如此下去,则最后留在堆中的100万个整数即为所求 100万个数字。该方法可大大节约内存。

3.3 一个文件中包含了1亿个随机整数,如何快速的找到最大(小)的100万个数字?(时间复杂度:O(n lg k))

4. 总结

堆是一种非常基础但很实用的数据结构,很多复杂算法或者数据结构的基础就是堆,因而,了解和掌握堆这种数据结构显得尤为重要。

5. 参考资料

(1)经典算法教程《算法导论》

原创文章,转载请注明: 转载自董的博客

本文链接地址: 数据结构之堆

微信公众号:hadoop-123,专注于大数据技术分享,欢迎加入!

说点什么

avatar
  Subscribe  
提醒