1、 概述

二叉查找树(Binary Search Tree,也叫二叉排序树,即Binary Sort Tree)能够支持多种动态集合操作,它可以用来表示有序集合、建立索引等,因而在实际应用中,二叉排序树是一种非常重要的数据结构。

从算法复杂度角度考虑,我们知道,作用于二叉查找树上的基本操作(如查找,插入等)的时间复杂度与树的高度成正比。对一个含n个节点的完全二叉树,这些操作的最坏情况运行时间为O(log n)。但如果因为频繁的删除和插入操作,导致树退化成一个n个节点的线性链(此时即为一个单链表),则这些操作的最坏情况运行时间为O(n)。为了克服以上缺点,很多二叉查找树的变形出现了,如红黑树、AVL树,Treap树等。

本文介绍了二叉查找树的一种改进数据结构–伸展树(Splay Tree)。它的主要特点是不会保证树一直是平衡的,但各种操作的平摊时间复杂度是O(log n),因而,从平摊复杂度上看,二叉查找树也是一种平衡二叉树。另外,相比于其他树状数据结构(如红黑树,AVL树等),伸展树的空间要求与编程复杂度要小得多。

2、 基本操作

伸展树的出发点是这样的:考虑到局部性原理(刚被访问的内容下次可能仍会被访问,查找次数多的内容可能下一次会被访问),为了使整个查找时间更小,被查频率高的那些节点应当经常处于靠近树根的位置。这样,很容易得想到以下这个方案:每次查找节点之后对树进行重构,把被查找的节点搬移到树根,这种自调整形式的二叉查找树就是伸展树。每次对伸展树进行操作后,它均会通过旋转的方法把被访问节点旋转到树根的位置。

为了将当前被访问节点旋转到树根,我们通常将节点自底向上旋转,直至该节点成为树根为止。“旋转”的巧妙之处就是在不打乱数列中数据大小关系(指中序遍历结果是全序的)情况下,所有基本操作的平摊复杂度仍为O(log n)。

伸展树主要有三种旋转操作,分别为单旋转,一字形旋转和之字形旋转。为了便于解释,我们假设当前被访问节点为X,X的父亲节点为Y(如果X的父亲节点存在),X的祖父节点为Z(如果X的祖父节点存在)。

(1)    单旋转

节点X的父节点Y是根节点。这时,如果X是Y的左孩子,我们进行一次右旋操作;如果X 是Y 的右孩子,则我们进行一次左旋操作。经过旋转,X成为二叉查找树T的根节点,调整结束。

(2)    一字型旋转

节点X 的父节点Y不是根节点,Y 的父节点为Z,且X与Y同时是各自父节点的左孩子或者同时是各自父节点的右孩子。这时,我们进行一次左左旋转操作或者右右旋转操作。

(3)    之字形旋转

节点X的父节点Y不是根节点,Y的父节点为Z,X与Y中一个是其父节点的左孩子而另一个是其父节点的右孩子。这时,我们进行一次左右旋转操作或者右左旋转操作。

3、伸展树区间操作

在实际应用中,伸展树的中序遍历即为我们维护的数列,这就引出一个问题,怎么在伸展树中表示某个区间?比如我们要提取区间[a,b],那么我们将a前面一个数对应的结点转到树根,将b 后面一个结点对应的结点转到树根的右边,那么根右边的左子树就对应了区间[a,b]。原因很简单,将a 前面一个数对应的结点转到树根后, a 及a 后面的数就在根的右子树上,然后又将b后面一个结点对应的结点转到树根的右边,那么[a,b]这个区间就是下图中B所示的子树。

利用区间操作我们可以实现线段树的一些功能,比如回答对区间的询问(最大值,最小值等)。具体可以这样实现,在每个结点记录关于以这个结点为根的子树的信息,然后询问时先提取区间,再直接读取子树的相关信息。还可以对区间进行整体修改,这也要用到与线段树类似的延迟标记技术,即对于每个结点,额外记录一个或多个标记,表示以这个结点为根的子树是否被进行了某种操作,并且这种操作影响其子结点的信息值,当进行旋转和其他一些操作时相应地将标记向下传递。

与线段树相比,伸展树功能更强大,它能解决以下两个线段树不能解决的问题:

(1) 在a后面插入一些数。方法是:首先利用要插入的数构造一棵伸展树,接着,将a 转到根,并将a 后面一个数对应的结点转到根结点的右边,最后将这棵新的子树挂到根右子结点的左子结点上。

(2)  删除区间[a,b]内的数。首先提取[a,b]区间,直接删除即可。

4、实现

代码全部来自【参考资料2】。

(1)旋转操作

// node 为结点类型,其中ch[0]表示左结点指针,ch[1]表示右结点指针
// pre 表示指向父亲的指针
// Rotate函数用于(左/右)旋转x->pre
void  Rotate(node *x, int  d) // 旋转操作,d=0 表示左旋,d=1 表示右旋
{
  node *y = x->pre;
  Push_Down(y), Push_Down(x);
 
  // 先将Y 结点的标记向下传递(因为Y 在上面),再把X 的标记向下传递
  y->ch[! d] = x->ch[d];
  if  (x->ch[d] != Null) x->ch[d]->pre = y;
  x->pre = y->pre;
 
  if  (y->pre != Null)
    if  (y->pre->ch[0] == y) y->pre->ch[0] = x;
    else  y->pre->ch[1] = x;
  x->ch[r] = y, y->pre = x, Update(y); // 维护Y 结点
  if  (y == root) root = x; // root 表示整棵树的根结点
}

(2)splay操作

void  Splay(node *x, node *f) // Splay 操作,表示把结点x 转到结点f 的下面
{
  for  (Push_Down(x) ; x->pre != f; ) // 一开始就将X 的标记下传
    if  (x->pre->pre == f) // 父结点的父亲即为f,执行单旋转
      if  (x->pre->ch[0] == x) Rotate(x, 1);
      else  Rotate(x, 0);
    else
    {
      node *y = x->pre, *z = y->pre;
      if  (z->ch[0] == y)
        if  (y->ch[0] == x)
          Rotate(y, 1), Rotate(x, 1); // 一字形旋转
        else
          Rotate(x, 0), Rotate(x, 1); // 之字形旋转
    else
      if  (y->ch[1] == x)
        Rotate(y, 0), Rotate(x, 0); // 一字形旋转
      else
        Rotate(x, 1), Rotate(x, 0); // 之字形旋转
  }
 
  Update(x); // 最后再维护X 结点
}

(3)将第k个数转到要求的位置

// 找到处在中序遍历第k 个结点,并将其旋转到结点f 的下面
void  Select(int  k, node *f)
{
  int  tmp;
  node *t;
  for  (t = root; ; ) // 从根结点开始
  {
    Push_Down(t); // 由于要访问t 的子结点,将标记下传
    tmp = t->ch[0]->size; // 得到t 左子树的大小
    if  (k == tmp + 1) break; // 得出t 即为查找结点,退出循环
    if  (k <= tmp) // 第k 个结点在t 左边,向左走
      t = t->ch[0];
    else  // 否则在右边,而且在右子树中,这个结点不再是第k 个
      k -= tmp + 1, t = t->ch[1];
  }
 
  Splay(t, f); // 执行旋转
}

5、 应用

(1)     数列维护问题

题目:维护一个数列,支持以下几种操作:

1. 插入:在当前数列第posi 个数字后面插入tot 个数字;若在数列首位插入,则posi 为0。

2. 删除:从当前数列第posi 个数字开始连续删除tot 个数字。

3. 修改:从当前数列第posi 个数字开始连续tot 个数字统一修改为c 。

4. 翻转:取出从当前数列第posi 个数字开始的tot 个数字,翻转后放入原来的位置。

5. 求和:计算从当前数列第posi 个数字开始连续tot 个数字的和并输出。

6. 求和最大子序列:求出当前数列中和最大的一段子序列,并输出最大和。

(2)     轻量级web服务器lighttpd中用到数据结构splay tree.

6、 参考资料

(1)     杨思雨《伸展树的基本操作与应用》

(2)     Crash《运用伸展树解决数列维护问题》

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本文链接地址: 数据结构之伸展树

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