1. 概述

同splay tree一样,treap也是一个平衡二叉树,不过Treap会记录一个额外的数据,即优先级。Treap在以关键码构成二叉搜索树的同时,还按优先级来满足堆的性质。因而,Treap=tree+heap。这里需要注意的是,Treap并不是二叉堆,二叉堆必须是完全二叉树,而Treap可以并不一定是。

2. Treap基本操作

为了使Treap 中的节点同时满足BST性质和最小堆性质,不可避免地要对其结构进行调整,调整方式被称为旋转。在维护Treap 的过程中,只有两种旋转,分别是左旋转(简称左旋)和右旋转(简称右旋)。

左旋一个子树,会把它的根节点旋转到根的左子树位置,同时根节点的右子节点成为子树的根;右旋一个子树,会把它的根节点旋转到根的右子树位置,同时根节点的左子节点成为子树的根。

struct  Treap_Node
{
  Treap_Node *left,*right; //节点的左右子树的指针
  int  value,fix; //节点的值和优先级
};
void  Treap_Left_Rotate(Treap_Node *&a) //左旋 节点指针一定要传递引用
{
  Treap_Node *b=a->right;
  a->right=b->left;
  b->left=a;
  a=b;
}
 
void  Treap_Right_Rotate(Treap_Node *&a) //右旋 节点指针一定要传递引用
{
  Treap_Node *b=a->left;
  a->left=b->right;
  b->right=a;
  a=b;
}

3. Treap的操作

同其他树形结构一样,treap的基本操作有:查找,插入,删除等。

3.1    查找

同其他二叉树一样,treap的查找过程就是二分查找的过程,复杂度为O(lg n)。

3.2    插入

在Treap 中插入元素,与在BST 中插入方法相似。首先找到合适的插入位置,然后建立新的节点,存储元素。但是要注意新的节点会有一个优先级属性,该值可能会破坏堆序,因此我们要根据需要进行恰当的旋转。具体方法如下:

1. 从根节点开始插入;

2. 如果要插入的值小于等于当前节点的值,在当前节点的左子树中插入,插入后如果左子节点的优先级小于当前节点的优先级,对当前节点进行右旋;

3. 如果要插入的值大于当前节点的值,在当前节点的右子树中插入,插入后如果右子节点的优先级小于当前节点的优先级,对当前节点进行左旋;

4. 如果当前节点为空节点,在此建立新的节点,该节点的值为要插入的值,左右子树为空,插入成功。

Treap_Node *root;
void  Treap_Insert(Treap_Node *&P,int  value) //节点指针一定要传递引用
{
  if  (!P) //找到位置,建立节点
  {
    P=new  Treap_Node;
    P->value=value;
    P->fix=rand();//生成随机的修正值
  }
  else  if  (value <= P->value)
  {
    Treap_Insert(P->left,r);
    if  (P->left->fix < P->fix)
      Treap_Right_Rotate(P);//左子节点修正值小于当前节点修正值,右旋当前节点
  }
  else
  {
    Treap_Insert(P->right,r);
    if  (P->right->fix < P->fix)
      Treap_Left_Rotate(P);//右子节点修正值小于当前节点修正值,左旋当前节点
  }
}

3.3   删除

与BST 一样,在Treap 中删除元素要考虑多种情况。我们可以按照在BST 中删除元素同样的方法来删除Treap 中的元素,即用它的后继(或前驱)节点的值代替它,然后删除它的后继(或前驱)节点。

上述方法期望时间复杂度为O(logN),但是这种方法并没有充分利用Treap 已有的随机性质,而是重新得随机选取代替节点。我们给出一种更为通用的删除方法,这种方法是基于旋转调整的。首先要在Treap 树中找到待删除节点的位置,然后分情况讨论:

情况一,该节点为叶节点或链节点,则该节点是可以直接删除的节点。若该节点有非空子节点,用非空子节点代替该节点的,否则用空节点代替该节点,然后删除该节点。

情况二,该节点有两个非空子节点。我们的策略是通过旋转,使该节点变为可以直接删除的节点。如果该节点的左子节点的优先级小于右子节点的优先级,右旋该节点,使该节点降为右子树的根节点,然后访问右子树的根节点,继续讨论;反之,左旋该节点,使该节点降为左子树的根节点,然后访问左子树的根节点,这样继续下去,直到变成可以直接删除的节点。

BST_Node *root;
void  Treap_Delete(Treap_Node *&P,int  *value) //节点指针要传递引用
{
  if  (value==P->value) //找到要删除的节点 对其删除
  {
    if  (!P->right || !P->left) //情况一,该节点可以直接被删除
    {
      Treap_Node *t=P;
      if  (!P->right)
        P=P->left; //用左子节点代替它
      else
        P=P->right; //用右子节点代替它
      delete  t; //删除该节点
    }
    else  //情况二
    {
      if  (P->left->fix < P->right->fix) //左子节点修正值较小,右旋
      {
        Treap_Right_Rotate(P);
        Treap_Delete(P->right,r);
      }
      else  //左子节点修正值较小,左旋
      {
        Treap_Left_Rotate(P);
         Treap_Delete(P->left,r);
      }
    }
  }
  else  if  (value < P->value)
    Treap_Delete(P->left,r); //在左子树查找要删除的节点
  else
    Treap_Delete(P->right,r); //在右子树查找要删除的节点
}

4. Treap应用

Treap可以解决splay tree可以解决的所有问题,具体参见另一篇博文:《数据结构之伸展树》

可以这样定义结构体:

struct  Treap_Node 
{
  Treap_Node *left,*right; //节点的左右子树的指针
  int  value,fix,weight,size; //节点的值,优先级,重复计数(记录相同节点个数,节省空间),子树大小
  inline  int  lsize(){ return  left ?left->size ?0; } //返回左子树的节点个数
  inline  int  rsize(){ return  right?right->size?0; } //返回右子树的节点个数
};

5. 总结

Treap 作为一种简洁高效的有序数据结构,在计算机科学和技术应用中有着重要的地位。它可以用来实现集合、多重集合、字典等容器型数据结构,也可以用来设计动态统计数据结构。

6. 参考资料

(1)Treap:http://www.nocow.cn/index.php/Treap

(2)随机平衡二叉查找树Treap 的分析与应用:http://www.byvoid.com/blog/wp-content/uploads/2010/12/treap-analysis-and-application.pdf

原创文章,转载请注明: 转载自董的博客

本文链接地址: 数据结构之Treap

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