1、  概述

并查集(Disjoint set或者Union-find set)是一种树型的数据结构,常用于处理一些不相交集合(Disjoint Sets)的合并及查询问题。

2、  基本操作

并查集是一种非常简单的数据结构,它主要涉及两个基本操作,分别为:

A. 合并两个不相交集合

B. 判断两个元素是否属于同一个集合

(1)       合并两个不相交集合(Union(x,y))

合并操作很简单:先设置一个数组Father[x],表示x的“父亲”的编号。那么,合并两个不相交集合的方法就是,找到其中一个集合最父亲的父亲(也就是最久远的祖先),将另外一个集合的最久远的祖先的父亲指向它。

上图为两个不相交集合,b图为合并后Father(b):=Father(g)

(2)       判断两个元素是否属于同一集合(Find_Set(x))

本操作可转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。可以采用递归实现。

3、  优化

(1)       Find_Set(x)时,路径压缩

寻找祖先时,我们一般采用递归查找,但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时,每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度。为了避免这种情况,我们需对路径进行压缩,即当我们经过”递推”找到祖先节点后,”回溯”的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先,这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了,如下图所示。可见,路径压缩方便了以后的查找。

(2)       Union(x,y)时,按秩合并

即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中,这样合并之后树的高度会相对较小。

4、  编程实现

int father[MAX];   /* father[x]表示x的父节点 */
int rank[MAX];     /* rank[x]表示x的秩 */
 
/* 初始化集合 */
void Make_Set(int x)
{
    father[x] = x; //父节点为自己(根据实际情况指定父节点可变化)
    rank[x] = 0;   //秩为0(根据实际情况初始化秩也可以有所变化)
}
 
/* 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径 */
int Find_Set(int x)
{
    if (x != father[x])
    {
        rank[father[x]] += rank[x];
        //递归,以找到最久远祖先
        //回溯时压缩路径:路径上的所有子孙节点都指向最久远祖先
        father[x] = Find_Set(father[x]);
    }
    return father[x];
}
 
/* 
   按秩合并x和y所在的集合
   下面的那个if else结构不是绝对的,具体根据情况变化
   但是,宗旨是不变的即,按秩合并,实时更新秩。
*/
void Union(int x, int y)
{
    x = Find_Set(x);  //找到最久远祖先
    y = Find_Set(y);
    if (x == y) return;  //两个元素属于同一个集合
    if (rank[x] > rank[y])  //把深度小的集合合并到深度大的集合中去
    {
        father[y] = x;
        rank[x] += rank[y];  //更新合并后的深度
    }
    else
    {
        if (rank[x] == rank[y])
        {
            rank[y]++;
        }
        father[x] = y;
    }
}

5、  复杂度分析

空间复杂度为O(N),建立一个集合的时间复杂度为O(1),N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N)),这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数,在很大的范围内(人类目前观测到的宇宙范围估算有10的80次方个原子,这小于前面所说的范围)这个函数的值可以看成是不大于4的,所以并查集的操作可以看作是线性的。具体复杂度分析过程见参考资料(3)。

6、  应用

并查集常作为另一种复杂的数据结构或者算法的存储结构。常见的应用有:求无向图的连通分量个数,最近公共祖先(LCA),带限制的作业排序,实现Kruskar算法求最小生成树等。

7、  参考资料

(1)       并查集:http://www.nocow.cn/index.php/%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86

(2)       博文《并查集详解》:http://www.cnblogs.com/cherish_yimi/

(3)       Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 21: Data structures for Disjoint Sets, pp. 498–524.

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本文链接地址: 数据结构之并查集

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